Lineare Algebra Beispiele

$3 x - 4 y = 0$ , $6 x + 5 y = 0$

Schritt 1

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 3 & - 4 & 0 \\ 6 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 4}{3} & \frac{0}{3} \\ 6 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 6 & 5 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 5 - 6 (- \frac{4}{3}) & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 13 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{13}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 0 \\ \frac{0}{13} & \frac{13}{13} & \frac{0}{13} \end{array}]$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 2.4.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Schritt 3

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = 0$

$y = 0$

Schritt 4

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(0, 0)$

Schritt 5

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$